Platonismul matematic: se găsește sau se face matematica?

Platonismul matematic este punctul de vedere care susține că obiectele matematice există independent de noi și de lucrurile pe care le facem; cum gândim, cum vorbim, cum ne comportăm. Este una dintre cele mai vechi și mai influente încercări de a da relatări despre metafizica matematicii.

În acest articol, este dată și explicată o definiție de bază a platonismului matematic. Vom explora platonismul – nu doar în ceea ce privește matematica, ci în general – și relația dintre platonism și opera lui Platon va fi clarificată. Apoi vom arunca o privire asupra argumentului lui Frege pentru platonismul matematic, care este înțeles pe scară largă ca fiind cel mai influent astfel de argument. În sfârșit, vom lua în considerare și câteva obiecții la adresa platonismului matematic.

Afirmația de bază a platonismului matematic

Matematic Platonism susține că obiectele matematice există independent de activitatea umană, gândire și limbaj. Prin urmare, am putea spune că este opinia conform căreia obiectele matematice sunt descoperite sau găsite, mai degrabă decât construite sau realizate de ființe umane.

Merită să lămurim că „obiect matematic” nu se referă la nimic tehnic sau complicat; se referă la orice poate fi definit în termeni matematici. Aceasta pare o vedere destul de simplă, dar este înșelătoare. În primul rând, ceea ce înseamnă să descoperi ceva, mai degrabă decât să-l creezi, este departe de a fi simplu.

Este posibil să nu existe o distincție strictă între a descoperi ceva și a-l crea noi înșine. Acest lucru este valabil mai ales atunci când aveți de-a face cu obiecte conceptuale, cum ar fi cele de care sunt preocupați în mare măsură matematicienii. De obicei, suntem încrezători doar în a spune că un obiect fizic ar exista fără intervenția umană (deși chiar și asta este foarte controversată).

Metafizica matematicii

Platonismul matematic este complicat și de faptul că este o doctrină metafizică. Ceea ce contează exact ca metafizică este cu siguranță controversat, dar metafizica în linii mari se preocupă mai degrabă de modul în care sunt lucrurile cu adevărat decât, de exemplu, de condițiile cunoașterii; asta ar fi în schimb preocuparea epistemologiei.

Deci, platonismul matematic se presupune că se preocupă de ceea ce sunt cu adevărat obiectele matematice, mai degrabă decât de modul în care ajungem să le cunoaștem. Cu toate acestea, pare ciudat să divorțăm de întrebarea ce sunt obiectele matematice de felul în care le cunoaștem și, astfel, din punct de vedere istoric, viziunea metafizică exprimată de Platonismul Matematic a fost atașată afirmațiilor despre cunoașterea directă sau imediată a obiectelor matematice.

Acesta nu este singurul epistemologică mutare disponibilă; W.V.O Quine, unul dintre cei mai influenți filosofi analitici ai secolului al XX-lea și un platonician înfocat în matematică, a avut o viziune empirică asupra matematicii, ceea ce înseamnă că cunoștințele noastre despre aceasta sunt acumulate mai degrabă prin experiență decât direct. În mod clar, orice relatare completă a ceea ce facem atunci când facem matematică va trebui să depășească viziunea pur metafizică, dar nu există spațiu aici pentru a face acest lucru aici.

Consecințele platonismului matematic

Există o serie de consecințe ale adoptării platonismului matematic de reținut, dar cele mai importante dintre ele sunt implicațiile pentru o viziune fizicistă asupra lumii. Fizicalismul, cel mai elementar, susține că lumea poate fi explicată numai în termeni de fapte fizice despre ea. Platonismul matematic este punctul de vedere conform căruia obiectele matematice sunt reale și, având în vedere că obiectele matematice sunt mai degrabă conceptuale decât fizice, aceasta ar părea să implice că faptele non-fizice sunt o parte a unei explicații complete a realității.

Matematic Platonismul este deosebit de puternic, deoarece matematica are o pretenție puternică de a fi cel mai consistent, cel mai științific și cel mai sigur domeniu de producere a cunoștințelor. În cele din urmă, merită să lămurim că, deși îi poartă numele, platonismul matematic nu prea are de-a face cu ceea ce Platon chiar a spus și s-a gândit la matematică. Mai degraba, 'Platonism' – care se poate aplica și altor lucruri decât matematică – este pur și simplu opinia că un anumit lucru există independent de noi. Farfurie a fost un „platonist” în acest sens, dar „platonismul” se aplică în moduri și lucruri pe care Platon nu le-ar fi făcut neapărat el însuși.

Argumentul lui Frege pentru platonismul matematic

Poate cel mai discutat argument pentru platonismul matematic nu vine de la Platon însuși, ci de la Slavă Domnului Frege . Frege rămâne unul dintre cei mai influenți matematicieni, logicieni și filozofi ai limbajului de astăzi , iar teoria sa despre platonismul matematic este la fel de influentă.

Argumentul lui Frege se bazează pe două premise. În primul rând, o apărare a ceea ce este cunoscut sub numele de „Semantică clasică”: și anume, că „termenii singulari ai limbajului matematicii pretind să se refere la obiecte matematice, iar cuantificatorii săi de ordinul întâi pretind să se încadreze pe astfel de obiecte”. În al doilea rând, o afirmație despre adevărul matematicii: „Majoritatea propozițiilor acceptate ca teoreme matematice sunt adevărate (indiferent de structura lor sintactică și semantică).”

Prima afirmație necesită o înțelegere de lucru a ceea ce matematică de fapt, ceea ce Frege deținea în mod clar și echivalează cu afirmația că limbajele matematicii sunt într-adevăr limbi, iar componentele acestor limbi au sens aproximativ în același mod ca și limbajele naturale.

Tot ceea ce se poate spune în apărarea acestei afirmații deocamdată este că mulți matematicieni consideră plauzibilă această viziune asupra matematicii; nu a fost doar o ciudatenie a lui Frege să deseneze acest lucru în mod similar între limbile matematice și limbile naturale (adică limbile pe care le vorbim în mod normal, cum ar fi engleza sau italiana). Există, desigur, o serie de argumente pentru a doua premisă, dar pentru scopurile noastre o vom presupune; majoritatea filozofilor o fac, deși nu sunt de acord cu privire la motivul.

Angajamentul ontologic

The Fregean În mod normal, se înțelege că argumentul trece de la aceste două premise la adevărul platonismului matematic printr-un concept numit „Angajament ontologic”. Există o serie de moduri de a înțelege „angajamentul ontologic”, dar esenția problemei este că o propoziție este dedicată ontologic acelor obiecte care trebuie asumate pentru ca propoziția să fie adevărată.

Când susținem că propozițiile matematice sunt dedicate obiectelor matematice existente în mod independent în acest fel, ni se pare că ni se oferă o alegere. Fie negăm premisa despre adevărul propozițiilor matematice (ceea ce puțini filozofi vor să o facă), fie acceptăm existența obiectelor matematice și, prin urmare, adevărul platonismului matematic.

Independența matematicii

Nu am atins încă ce ar însemna ca obiectele matematice să fie independente. Filosofii înțeleg de obicei această afirmație într-un mod contrafactual; adică, ei îl înțeleg prin a întreba ce ar fi diferit la matematică dacă creaturile inteligente nu ar fi existat niciodată.

Nu este greu de înțeles de ce, atunci când este pus în acest mod contrafactual, este dificil să negi condiția de independență. În primul rând, există o improbabilitate de bază în opinia conform căreia adevărurile matematicii ar fi total diferite dacă ființele umane s-ar întâmpla să nu evolueze inteligența necesară pentru a le discerne. În egală măsură, matematicienii raționează adesea față de ipotetic (adică nu actual). E.N Zalta spune acest lucru: „Din moment ce adevărurile matematicii pure pot fi apelate în mod liber prin raționamentul nostru contrafactual, rezultă că aceste adevăruri sunt independente din punct de vedere contrafactual de noi, oamenii, și de toate celelalte vieți inteligente.”

Obiecții la platonismul matematic

După cum a fost prezentat până acum, platonismul matematic ar putea părea destul de intuitiv. Pentru non-matematician, ideea că obiectele matematice ar înceta să mai existe dacă ființele umane nu ar fi existat niciodată pare ciudată. Cu toate acestea, există multe obiecții la adresa platonismului matematic, dintre care unele sunt doar încercări de a-l atenua, iar unele constituie o respingere totală.

Unele dintre aceste obiecții sunt destul de tehnice și servesc la complicarea problemelor prezentate de platonismul matematic pentru nematematicieni. Cu toate acestea, o obiecție se referă la problema temeinic filozofică care a fost atinsă la începutul acestui articol: problema epistemologiei și relația ei cu metafizica. Întrebarea devine: cum putem ajunge să cunoaștem obiectele matematice?

O astfel de obiecție vine de la Paul Benacerraf. O versiune succintă a acestei obiecții este următoarea. Dacă concluziile trase de matematicieni sunt de încredere și, prin urmare, ar trebui să putem explica această fiabilitate, platonismul matematic nu poate ține.

Această ultimă premisă pare să apară de nicăieri, dar este de obicei atribuită faptului că Platonismul matematic presupune că entitățile matematice există în afara spațiului și timpului și, prin urmare, ar trebui să fie izolate cauzal de noi. Cu toate acestea, nu este clar că fiabilitatea trebuie definită într-un mod cauzal. În orice sens considerăm că rezultatele matematicienilor sunt de încredere, va fi determinat de definiția noastră a ceea ce trebuie să facă matematicienii în primul rând. Definiția noastră a fiabilității ar trebui să decurgă din definiția noastră a matematicii, nu invers.