Paradoxul lui Bertrand Russell explicat

Bertrand Russell, unul dintre cei mai influenți matematicieni, logicieni și filozofi ai secolului al XX-lea, își dă numele unuia dintre cele mai faimoase și influente paradoxuri logice ale perioadei moderne. În timp ce unele dintre paradoxurile antice, cele mai cunoscute cele dezvoltate de Zeno, sunt preocupate de probleme de logică sau de raționament ca atare, paradoxul lui Russell este o problemă pentru un set mai limitat de teorii din logică, în special cele cunoscute ca „multimi naive”. teorii'. În acest articol vom explora acest paradox, contextul istoric în care a apărut și consecințele sale asupra filosofiei și logicii.

Prezentarea Paradoxului lui Russell

După cum am menționat deja, paradoxul lui Russell se referă la teoria multimilor naivă. „Naiv” aici nu este peiorativ, ci servește doar pentru a le distinge de teoriile axiomatice (care preced de axiomele definite în logica formală). Logica formală se referă aici la orice încercare de a examina argumentele și raționamentul care implică redarea lor în limbaje formale, care sunt artificiale și create special în scopul studierii raționamentului și argumentelor. Acest lucru este în contrast cu logica informală, care studiază argumentele și raționamentul concentrându-se pe limbile naturale, cum ar fi engleza.

Teoriile multimilor naive încep cu definiții informale; cele pe care le găsim în limbajele naturale, și nu limbajele logice formale pe care matematicienii sau logicienii (filozofii care studiază logica) le inventează pentru ei înșiși.

Crucea paradoxului

Cheia paradoxului se referă la ansambluri care par a fi atât membri ai lor, cât și nu membri ai lor. În loc să expunem inițial paradoxul în termenii în care matematicienii și logicienii tind să se gândească la el, putem începe prin a examina un exemplu mai informal.

Luați în considerare paradoxul frizerului: imaginați-vă un frizer care rade pe toți bărbații dintr-un sat care nu se rad singuri și numai pe acei bărbați care nu se rad. Se rade frizerul? Dacă spunem „Nu”, atunci el este un bărbat din acest sat care nu se rade singur, și deci cine trebuie să-l radă? Frizerul! Dar el este frizerul, deci el face se rade de fapt. Dacă spunem „Da”, atunci el este un bărbat care se rade, deci nu poate fi bărbierit de frizer, dar asta înseamnă că de fapt nu se rade si asa mai departe.

Aceasta ar putea părea o curiozitate inofensivă a expresiei naturale și ar putea părea că rezolvă problema să răspunzi simplu: „nici un astfel de frizer nu poate exista”. Cu toate acestea, acest paradox nu este inofensiv în ceea ce îi privește pe logicieni și matematicieni. De fapt, deși unele dintre implicațiile paradoxului sunt încă contestate. Consecințele imediate au inclus descoperirea unei vulnerabilități majore în cele mai promițătoare încercări de a susține matematica folosind logica formală.

Paradoxul lui Russell, proiectul lui Frege

Bertrand Russell a dezvoltat paradoxul lui Russell în linii mari ca răspuns la munca lui Gottlob Frege, un matematician, logician și filosof german. Mai exact, Russell a ridicat paradoxul ca răspuns la conceptul de mulțimi folosit de Frege în articularea proiectului său general, pe tot parcursul vieții, care a fost o încercare de a arăta că matematica era reductibilă la logică.

Nu există spațiu pentru a acoperi funcția precisă a mulțimii în proiectul general al lui Frege aici, dar putem rezuma succint teoria multimilor după cum urmează. Pentru Frege, mulțimile corespund în relație de unu la unu cu proprietăți. Fiecărei proprietăți îi corespunde un set de lucruri care au această proprietate. De exemplu, setul corespunzător proprietății de „a fi câștigătorul Balonului de Aur masculin din 2021” ar avea un membru, și anume Lionel Messi. Ceea ce trebuie să ținem cont de această teorie care avansează este că aderă la ceea ce a ajuns să fie cunoscut drept „principiul înțelegerii nerestricționate”. Pentru a spune simplu, acel principiu susține că pentru orice proprietate, există un set de toate și numai obiectele care au această proprietate.

Seturi sofisticate

Nu toate mulțimile sunt la fel de simple ca exemplele pe care tocmai le-am menționat și este important să observăm unele dintre problemele filozofice ridicate de această concepție a mulțimilor. Luați în considerare întrebarea ce este conținut în mulțimea corespunzătoare proprietății de a fi roșu, adică mulțimea care conține toate lucrurile roșii. Nu există infinit de multe lucruri în univers și astfel setul nu este infinit de mare. Este ipotetic, dat fiind că nu știm despre fiecare lucru roșu și este posibil să nu știm nici măcar în principiu despre fiecare lucru roșu. Este posibil un astfel de set? Este imaginabil?

Teoria noastră a culorii este cu siguranță un factor. Cum concepem acest set, dacă îl putem concepe, va depinde cu siguranță dacă calitatea de a fi roșu este determinată de fapte despre limbajul uman, percepția umană sau alte facultăți „cognitive” sau dacă roșul este o proprietate naturală. Într-adevăr, a distinge limbajul de cunoaștere de natură în acest fel ar fi inadmisibil pentru mulți filozofi. Argumentele din ce în ce mai fine sunt susceptibile să apară atunci când încercăm să caracterizăm mulțimile și proprietățile în acest fel.

Proprietăți imposibile

Oricare ar fi problemele cu teoria mulțimilor a lui Frege, ea evită problemele care se confruntă cu alte teorii ale mulțimilor și, în orice caz, are un rol important de jucat în teoria generală a lui Frege. Deci, care a fost problema pe care Russell a pus-o pentru teoria lui Frege? S-a pus în discuție noțiunea de mulțimi care sunt un membru al lor înșiși și o posibilă contradicție pe care o puneau pentru modul de gândire al lui Frege despre mulțimi.

Dacă considerăm „a nu fi membru al ei înșiși” o proprietate, atunci apare întrebarea: este mulțimea tuturor mulțimilor care nu sunt membri ai lor înșiși (pe care le putem numi A ), un membru al său? Dacă răspundem „da”, susținem asta A este un membru al lui însuși, dar, desigur, acest lucru nu are sens, pentru că atunci nu este, prin definiție, un membru al lui însuși. În egală măsură, dacă răspundem „nu”, acest lucru nu are nici un sens, deoarece atunci este, prin definiție, un membru al lui însuși.

O problemă a claselor cuprinzătoare

Există o problemă legată de clasele cuprinzătoare. Russell spune astfel: „Clasa cuprinzătoare pe care o luăm în considerare, care trebuie să îmbrățișeze totul, trebuie să se îmbrățișeze ca unul dintre membrii săi. Cu alte cuvinte, dacă există un astfel de lucru ca „totul”, atunci „totul” este ceva și este un membru al clasei „totul”. Dar, în mod normal, o clasă nu este un membru al ei înșiși. Omenirea, de exemplu, nu este un om. Formați acum ansamblul tuturor claselor care nu sunt membri ai lor. Aceasta este o clasă: este un membru al ei sau nu? Dacă este, este una dintre acele clase care nu sunt membri ai lor, adică nu este un membru al ei înșiși. Dacă nu este, nu este una dintre acele clase care nu sunt membri ai lor, adică este un membru al ei înșiși. Astfel, dintre cele două ipoteze – că este, și că nu este, un membru al ei înșiși – fiecare implică contradicția sa. Aceasta este o contradicție.”

Un cuvânt despre Frege

Înainte de a trece mai departe, merită să punem un cuvânt pentru Întrebat , atât ca filozof, cât și ca ființă umană. Proiectul lui Frege de a reduce matematica la logică a fost, fără îndoială, fără succes. Cu toate acestea, Frege era departe de a fi un eșec filozofic. În ultimul secol, el s-a dovedit a fi unul dintre, dacă nu cei mai importanți filozofi ai logicii, matematicii și limbajului.

Michael Dummett, un filosof proeminent de sine stătător, consideră că toată filosofia „analitică”, componenta dominantă practicată în universitățile vorbitoare de limbă engleză, ar trebui să fie numită „filozofie post-fregeană”, atât de influent a fost Frege în cursul ei. dezvoltare. Russell a adus paradoxul în atenția lui Frege la fel ca a doua ediție a lui Frege Legile de bază ale aritmeticii mergea la presă.

Magnanimitatea lui Frege

Frege era cunoscut pentru amabilitatea sa și simțul datoriei colegiale. El este responsabil, printre altele, de a lui Ludwig Wittgenstein decizia de a lucra cu Russell la Cambridge. Acest paradox, așa cum trebuie să fi știut Frege, amenința să-i submineze nu doar întreaga carte, ci și proiectul căruia și-a dedicat întreaga viață productivă. Merită să subliniem cât de uimitor a fost răspunsul lui Frege, pe care Bertrand Russell însuși a descris-o astfel:

„Întreaga lucrare a vieții lui era pe punctul de a se finaliza, o mare parte din lucrarea lui fusese ignorată în beneficiul oamenilor infinit mai puțin capabili, al doilea volum al său era pe cale să fie publicat și, după ce a constatat că presupunerea sa fundamentală era greșită, el a răspuns. cu plăcerea intelectuală scufundând în mod clar orice sentimente de dezamăgire personală. A fost aproape supraomenesc și o indicație grăitoare a ceea ce sunt capabili bărbații dacă dedicarea lor este pentru munca creativă și cunoaștere în loc de eforturi mai crude de a domina și de a fi cunoscuți”. Este dificil să reproșezi importanța intelectuală și statutul unei astfel de persoane printre filozofii de astăzi .

Semnificația paradoxului lui Russell: putem deduce orice dintr-o contradicție!

Semnificația paradoxului lui Russell poate fi simțită atunci când ne dăm seama de asta orice rezultă dintr-o contradicţie, care nu este evidentă la prima vedere. Este greu să demonstrăm acest lucru aici, dar urmați acest cadru de bază din logica clasică:

Dacă există o contradicție, atunci este același lucru cu a spune asta P , și totuși, în același timp, nu- P, Unde P este orice propoziție cu valoare de adevăr. P ar putea fi, de exemplu, propoziția: „Frege este un logician”. Este o contradicție să spui atât „Frege este un logician”, cât și „Frege nu este un logician”. Dacă le presupunem pe amândouă P si nu- P, putem face ca orice propoziție să decurgă din aceasta în felul următor:

Dacă P este adevărat, atunci este neapărat adevărat că unul dintre P sau Q (o altă propoziție) sunt adevărate; la urma urmei, știm P este deja adevărat, deci chiar dacă Q este falsă, una dintre cele două propoziții este adevărată, deci una dintre P sau Q este adevarat. Dar dat fiind că presupunem și că nu... P este adevărat și am arătat că unul dintre P sau Q este adevărat, suntem obligați să spunem asta Q este adevarat. Acest lucru este o nebunie și nu trebuie să se întâmple! Habar n-avem ce Q este; ar putea fi o propoziție complet fără sens sau cu totul neplauzibilă și totuși am fi obligați să spunem că este adevărată conform celor mai elementare legi ale logicii. Aceasta este puterea contradicției.

Răspunsuri plauzibile la Paradoxul lui Russell

Au fost oferite o serie de răspunsuri la paradoxul lui Russell. Una dintre cele mai naturale soluții a fost oferită de Russell însuși. Răspunsul lui Russell, dezvoltat împreună cu A.N Whitehead, încearcă să evite paradoxul prin aranjarea tuturor propozițiilor într-un fel de ierarhie și susținând că este posibil să se facă referire la toate obiectele într-o anumită condiție numai dacă sunt de același nivel sau tip. . Scopul declarat al acestui lucru este de a evita așa-numitele „cercuri vicioase” care decurg din ceea ce ei descriu ca „o colecție de obiecte poate conține membri care pot fi definiți numai prin intermediul colecției în ansamblu”.

Această strategie generală apare din punctul de vedere că nicio funcție nu poate fi aplicată obiectelor care presupun funcția în sine. Aceasta constituie deci un fel de ierarhie a operațiunii, care ne permite să reținem ceea ce este util despre noțiunea de mulțime. Aceasta nu este singura abordare viabilă. David Hilbert , de exemplu, adoptă ceea ce este cunoscut sub numele de viziunea „formalistă”, care pledează pentru utilizarea numai a obiectelor finite, bine definite. O ultimă abordare, cea a „intuiționismului”, dezvoltată de Luitzen Brower , susține că nu se poate afirma că un obiect matematic există decât dacă se poate descrie procedura prin care poate fi construit.